\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{通义千问、五六七}
\title{数量金融实验 - 专题3 -期权定价的二叉树模型}
%\date{2025年9月9日}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

\abstract{本文介绍期权定价二叉树模型的原理、参数估计、概念辨析、实例计算。}

\tableofcontents




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

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\section{期权定价的二叉树模型}

二叉树模型（Binomial Tree Model）是由考克斯（Cox）、罗斯（Ross）和鲁宾斯坦（Rubinstein）于1979年提出的一种用于期权定价的离散时间模型。它通过模拟标的资产价格在一段时间内的可能路径，逐步计算期权的价值，是理解期权动态定价的直观工具。

%1
\subsection{基本假设与结构}

模型假设在每一个小的时间区间 $\Delta t$ 内，标的资产价格 $S$ 只有两种可能的变动：
\begin{itemize}
    \item 以概率 $p$ 上涨至 $S u$，其中 $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} > 1$
    \item 以概率 $1-p$ 下降至 $S d$，其中 $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} < 1$
\end{itemize}
其中 $\sigma$ 是资产价格的波动率。

这种两叉树结构在多个时间段内重复，形成一个二叉树，直到期权到期日 $T$。

%2
\subsection{风险中性定价}

二叉树模型采用风险中性定价（Risk-Neutral Valuation）原则。在风险中性世界中，所有资产的期望收益率均为无风险利率 $r$。上涨概率 $q$ 被定义为：
\[
q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}.
\]

%3
\subsection{定价步骤}

以欧式看涨期权为例，定价过程如下：
\begin{enumerate}
    \item 构建价格树：从当前价格 $S_0$ 出发，逐层计算每个节点的资产价格。
    \item 计算到期日期权价值：在最后一层（$t = T$），计算每个节点的期权 payoff：$\max(S_T - K, 0)$。
    \item 倒推计算：从到期日向前逐层折现：
    \[
    C = e^{-r \Delta t} \left[ q \cdot C_u + (1 - q) \cdot C_d \right]
    \]
    其中 $C_u$ 和 $C_d$ 分别是下一时期上涨和下跌状态下的期权价值。
\end{enumerate}

注：Payoff是金融领域的一个术语，指的是一项金融交易的最终结算结果，或者是一个金融产品的回报。 通常情况下，在金融交易中，买方支付价值给卖方，以获得某种资产或权利，然后在未来等待某一事件或日期，以获取预定的回报。 而Payoff指的就是这些完全依赖于未来事件或日期的回报。

%4
\subsection{优点与意义}

\begin{itemize}
    \item 直观易懂，适合教学与数值计算。
    \item 可用于定价美式期权（在倒推过程中检查提前行权是否更有利）。
    \item 当时间步长 $\Delta t \to 0$ 时，二叉树模型收敛于布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）连续时间模型。
\end{itemize}

因此，二叉树模型是连接离散与连续期权定价理论的桥梁。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{从实际数据估计二叉树模型参数}

{\color{red}
我们来说明如何从实际的金融时间序列数据（如股票日收盘价）中计算二叉树模型所需的关键参数。

1. 预期收益率 $\mu$, 波动率 $\sigma$. 

2. 二叉树模型的 $u$ 和 $d$. 

3. 风险中性概率 $q$. 

}

%1
\subsection{预期收益率 $\mu$ 与波动率 $\sigma$}

设我们有 $n+1$ 个历史价格：$S_0, S_1, \dots, S_n$，观测间隔为 $\Delta t$（例如 $\Delta t = 1/252$ 年，对应日数据）。

定义对数收益率：
\[
r_t = \ln\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right), \quad t = 1, 2, \dots, n
\]

\begin{itemize}
    \item \textbf{波动率 $\sigma$}（年化）：
    \[
    \hat{\sigma} = \frac{\text{std}(r_1, \dots, r_n)}{\sqrt{\Delta t}}
    \]
    其中 $\text{std}(\cdot)$ 是样本标准差。这是对价格波动程度的统计估计。

    \item \textbf{预期收益率 $\mu$}（年化）：
    \[
    \hat{\mu} = \frac{1}{\Delta t} \cdot \text{mean}(r_1, \dots, r_n)
    \]
    其中 $\text{mean}(\cdot)$ 是样本均值。
    注意：$\hat{\mu}$ 是基于历史数据的真实概率测度下的期望收益率。
\end{itemize}

%2
\subsection{二叉树的上涨因子 $u$ 和下跌因子 $d$}

在标准二叉树模型中，$u$ 和 $d$ 由波动率 $\sigma$ 和时间步长 $\Delta t$ 决定：
\[
u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} = \frac{1}{u}
\]

这些参数描述了价格在每个小时间段内可能变动的幅度，与概率无关。

%3
\subsection{风险中性上涨概率 $q$}

在二叉树模型中，风险中性概率 $q$ 由无风险利率 $r$、上涨因子 $u$ 和下跌因子 $d$ 决定：
\[
q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d},
\]

其中：
\begin{itemize}
    \item $r$：无风险年利率（如国债收益率）
    \item $\Delta t$：时间步长（年）
    \item $u, d$：由上述波动率 $\sigma$ 计算得出
\end{itemize}

注意，这个 $q$ 不是真实世界中价格上涨的概率，而是一个用于期权定价的风险中性概率。
它确保在无套利条件下，资产的期望收益率为 $r$。

%4
\subsection{小结}

\begin{enumerate}
    \item 用历史对数收益率估计 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$。
    \item 用 $\hat{\sigma}$ 计算 $u = e^{\hat{\sigma} \sqrt{\Delta t}}$, $d = e^{-\hat{\sigma} \sqrt{\Delta t}}$。
    \item 用 $r, u, d, \Delta t$ 计算风险中性概率 $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$。
\end{enumerate}

真实世界概率（由 $\hat{\mu}$ 隐含）用于预测，而风险中性概率 $q$ 用于衍生品定价。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\section{真实世界概率与风险中性概率的区别与联系}

在金融衍生品定价中，\textbf{真实世界概率}（Physical Probability Measure）和\textbf{风险中性概率}（Risk-Neutral Probability Measure）是两个核心概念，它们在目的、假设和应用上存在本质区别，但通过数学变换紧密联系。

%1
\subsection{定义与本质}

\textbf{真实世界概率}（记为 $\mathbb{P}$）：
    \begin{itemize}
        \item 描述资产价格在现实世界中实际发生的概率。
        \item 投资者是风险厌恶的，要求对承担的风险（尤其是系统性风险）获得超额补偿。
        \item 资产的期望收益率 $\mu$ 通常大于无风险利率 $r$，即 $\mu > r$。
        \item 用于：风险评估、投资组合管理、VaR 计算、情景分析等。
    \end{itemize}

\textbf{风险中性概率}（记为 $\mathbb{Q}$）：
    \begin{itemize}
        \item 是一个为方便定价而构造的“假想”概率测度。
        \item 在此测度下，所有资产的期望收益率都等于无风险利率 $r$。
        \item 投资者对风险持中性态度，不要求额外风险溢价。
        \item 用于：衍生品（如期权、期货）的无套利定价。
    \end{itemize}

%2
\subsection{区别}

%\begin{center}
\begin{table}[ht] \centering 
\caption{两种概率测度的区别}\vspace{0.3cm}
\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline
\textbf{特征} & \textbf{真实世界概率 $\mathbb{P}$} & \textbf{风险中性概率 $\mathbb{Q}$} \\ \hline  \hline 
投资者态度 & 风险厌恶 & 风险中性 \\ \hline 
期望收益率 & $\mu > r$ & $r$ \\ \hline 
用途 & 预测、风险管理 & 衍生品定价 \\ \hline 
可直接观测？ & 否（需从历史数据估计） & 否（由市场隐含） \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
%\end{center}

%3
\subsection{联系}

两者通过 Girsanov 定理和测度变换相联系。在连续时间模型（如 Black-Scholes）中，价格过程从 $\mathbb{P}$ 测度下的
\[
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t^\mathbb{P}
\]
变换为 $\mathbb{Q}$ 测度下的
\[
dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t^\mathbb{Q}
\]
其中 $W_t^\mathbb{Q}$ 是在 $\mathbb{Q}$ 测度下的布朗运动。

在离散的二叉树模型中，真实世界上涨概率 $p$ 满足：
\[
\mathbb{E}^\mathbb{P}[S_{t+\Delta t}] = p S u + (1-p) S d = S e^{\mu \Delta t}
\]
而风险中性概率 $q$ 满足：
\[
\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_{t+\Delta t}] = q S u + (1-q) S d = S e^{r \Delta t}
\]
解得：
\[
p = \frac{e^{\mu \Delta t} - d}{u - d}, \quad 
q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}.
\]

%4
\subsection{核心思想与小结}

\textbf{衍生品价格是风险中性期望的折现}：
\[
V_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[ \text{Payoff}(S_T) ]
\]
即使真实世界中 $\mu > r$，我们仍用 $r$ 折现，因为风险溢价已隐含在 $\mathbb{Q}$ 测度的概率调整中。

真实世界概率描述“实际会发生什么”，用于预测和风险管理；风险中性概率描述“在无套利市场中，为定价而假设会发生什么”，用于衍生品估值。两者通过数学变换连接，体现了金融工程中“定价”与“预测”的根本区别。

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%\newpage 
\section{风险中性概率的计算示例}

\subsection{例子设定}

询问：为理解风险中性概率这个概念，我编写了一个例子。设某股票现价100元，1年后的股价为120元或85元。设年利率为5\%. 求风险中性概率测度。请修改补充这个例子，使其更合理准确。

回答：您提供的例子基础良好，但为使其更符合金融建模的严谨性，需进行以下修正与补充：

% \subsection*{原问题}
% - 股票现价 $S_0 = 100$ 元
% - 1年后股价：$S_u = 120$ 或 $S_d = 85$
% - 年无风险利率 $r = 5\%$

% \subsection{问题分析}

问题分析：
原设定中，上涨和下跌的幅度不对称（+20\%, -15\%），虽可计算，但缺乏对波动率的明确刻画。为增强合理性，我们引入**波动率参数**并确保无套利条件成立。

% \subsection{修正后的示例}

修正后的例子：
设股票当前价格 $S_0 = 100$ 元，时间区间 $T = 1$ 年，年化波动率 $\sigma = 20\%$（典型股票波动率），年无风险利率 $r = 5\%$（连续复利）。

\subsection{二叉树模型}

在二叉树模型中，上涨因子和下跌因子分别为 
\[
u = e^{\sigma \sqrt{T}} = e^{0.20 \times 1} \approx 1.2214
\]
\[
d = e^{-\sigma \sqrt{T}} = e^{-0.20 \times 1} \approx 0.8187
\]

于是一年后股价为

上涨状态：$S_u = S_0 \cdot u = 100 \times 1.2214 = 122.14$ 元

下跌状态：$S_d = S_0 \cdot d = 100 \times 0.8187 = 81.87$ 元


\subsection{计算风险中性概率}

风险中性上涨概率 $q$ 满足：
\[
\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_T] = q S_u + (1-q) S_d = S_0 e^{rT}
\]

代入数值：
\[
q \cdot 122.14 + (1-q) \cdot 81.87 = 100 \cdot e^{0.05} \approx 105.127
\]

解方程：
\[
122.14q + 81.87 - 81.87q = 105.127
\]
\[
40.27q = 23.257
\]
\[
q \approx \frac{23.257}{40.27} \approx 0.5775
\]

因此，风险中性概率为：
\[
q \approx 57.75\%, \quad 1-q \approx 42.25\%
\]

直接按公式计算，可得同样结果：
\[
q = \frac{e^{rT}-d}{u-d} \approx \frac{e^{0.05}-0.8187}{1.2214-0.8187} \approx 0.5775.  
\]

\subsection{解释}

在真实世界中，投资者可能预期股价上涨（如 $\mu = 8\%$），但定价期权时无需知道 $\mu$。

在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，所有资产的期望收益率均为无风险利率 $r = 5\%$。

此概率 $q$ 用于期权定价，例如欧式看涨期权（执行价 $K=100$）的价值为：
\[
C = e^{-rT} \left[ q \cdot \max(122.14-100,0) + (1-q) \cdot 0 \right] = e^{-0.05} \cdot 0.5775 \cdot 22.14 \approx 12.16 \text{元。}
\]

\subsection{小结}

通过引入波动率 $\sigma$ 确定 $u$ 和 $d$，使模型更符合标准二叉树框架。风险中性概率 $q$ 由无套利原则决定，确保衍生品定价不依赖于投资者的风险偏好。




\end{document}

